見本PDF 中学 数BEKI | 塾用教材 | 教育開発出版株式会社 suubeki d2 sample

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10 ^{２次方程式の応用}

７０ 文字の値に関する問題

2 次方程式 x^+a−5x−2a=0 の 1 つの解が 3 であるとき，a の値と他の解を求めよ。 解 x^+a−5x−2a=0 に x=3 を代入すると，

3^+a−5×3−2a=0，9+3a−15−2a=0，a=6 よって，2 次方程式は x^+x−12=0 となる。 これを解くと，x=3，−4 だから，他の解は x=−4

2 次方程式 x^+ax+b=0 の解が 3 と −8 であるとき，a，b の値を求めよ。 解 x=3 を解にもつから，3^+3a+b=0，すなわち，3a+b=−9…①

また，x=−8 を解にもつから，−8^−8a+b=0，すなわち，8a−b=64…② a，b についての連立方程式①，②を解くと，a=5，b=−24

〔別解〕 2 つの解が 3 と −8 である 2 次方程式は，x−3x−−8=0 左辺を展開すると，x^+5x−24=0

よって，a=5，b=−24

222

次の問いに答えよ。

□⑴ 2 次方程式 x^+ax−20=0 の解の 1 つが 4 であるとき，a の値と他の解を求めよ。

□⑵ 2 次方程式 x^+a+3x−2a+1=0 の 1 つの解が 3 であるとき，a の値と他の解を求めよ。

□⑶ x の 2 次方程式 2x^+ax−a^=0 が −2 を解にもつとき，a の値を求めよ。

□⑷ 2 次方程式 x^+x−2a−2=0 の解の 1 つが a であるとき，a の値と他の解を求めよ。

□⑸ 2 次方程式 x^+2x−a=0 の解の 1 つが −1+ 13 のとき，a の値を求めよ。

□⑹ 2 つの 2 次方程式 x^+ax+a+3=0，x^−7x+12=0 が共通の解を 1 つもつとき，a の値を求 めよ。

□⑺ x の 2 次方程式 x^+x−2a^=0 と x^−a^x−a+1=0 がともに x=1 を解にもつ。このとき，a の値を求めよ。

□⑻ x の 2 次方程式 x^−8x+3a=0 の解のうちの 1 つから 2 をひいたものが a であるという。こ のとき，a の値を求めよ。

223

次の問いに答えよ。

□⑴ x の 2 次方程式 x^+ax+b=0 の解が 4 と −5 であるとき，a，b の値を求めよ。

□⑵ x の 2 次方程式 x^+ax+b=0 の解が 9 と −3 であるとき，a，b の値を求めよ。

□⑶ x の 2 次方程式 x^+ax+b=0 の 2 つの解に，それぞれ 2 を加えた数は，2 次方程式 x^+3x−54=0 の解になるという。a，b の値を求めよ。

□⑷ x の 2 次方程式 x^+ax+b=0 の 2 つの解に，それぞれ 2 をかけた数は，2 次方程式 x^−12x+32=0 の解になるという。a，b の値を求めよ。

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■ ７１ 数に関する問題

和が5，積が −3 となる 2 つの数を求めよ。

解 求める2 つの数の一方を x とおく。和が 5 であるから，もう一方の数は 5−x と表される。 これらの積が−3 であるから，x5−x=−3，x^−5x−3=0

これを解いて，x=^{5± 37} 2 x=^{5+ 37}

2 ^{のとき，5−x=5−} 5+ 37

2 ⁼ 5− 37

2 x=^{5− 37}₂ のとき，5−x=5−^{5− 37}

2 ⁼ 5+ 37

2 したがって，求める2 つの数は，^{5+ 37}

2 ^と

5− 37 2

224

次の問いに答えよ。

□⑴ 和が−7，積が 4 となる 2 つの数を求めよ。

□⑵ 積が42 となるような連続する 2 つの整数を求めよ。

□⑶ ある数から3 をひいて 2 乗したら，もとの数の 5 倍より 3 小さくなった。もとの数を求めよ。

□⑷ ある正の整数 x の 2 乗を，x より 3 大きい数でわると，商が 6 で余りが 9 になる。x の値を求 めよ。

□⑸ 連続する2 つの自然数の平方の和が 221 である。この 2 つの自然数を求めよ。

□⑹ 負の数 x を 2 乗するところを間違えて 2 倍したら，正しい答より 7 小さくなった。x の値を求 めよ。

７２ 公式に関する問題 n 角形の対角線は，¹

2nn−3 本引ける。対角線が 44 本ある多角形を求めよ。 解 ¹

2nn−3=44，nn−3=88，n^−3n−88=0，n=−8，11

n は自然数で，n≧3 だから，n=−8 は問題に適していない。n=11 は問題に適している。 よって，十一角形

〔注〕 n 角形（多角形）が定義されるのは，n が自然数で，n≧3 のときであることに注意する。

225

対角線が次の本数である多角形を求めよ。

□⑴ 27本 □⑵ 65本 □⑶ 135本

226

1 から n までの自然数の和は ¹

2nn+1 で求められる。和が次のようになるのは，1 からいく つまでの自然数の和か。

□⑴ 45 □⑵ 120 □⑶ 300

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７３ 図形に関する問題

縦10 m，横 14 m の長方形の土地がある。いま，右の図のように，同 じ幅の道路を作り，残りを畑にしたら，畑の部分の面積の合計が96m^ になった。このときの道路の幅を求めよ。

解 道路の幅を x m として，道路を端にずらして考える。

10−x14−x=96，x^−24x+44=0，x=2，22

0<x<10 より，x=22 は問題に適していない。x=2 は問題に適している。 よって，道路の幅は 2 m

227

次の問いに答えよ。

□⑴ ある正方形の縦の長さを9 cm 短くし，横の長さを 3 cm 長くして長方形を作ったら，面積が 64 cm^になった。もとの正方形の1 辺の長さを求めよ。

□⑵ 横が縦より3 m 長い長方形の土地がある。土地の周囲にそって，幅 2 m の道を内側に作ったら， 残りの土地の面積は88m^になった。もとの土地の縦の長さを求めよ。

池

遊歩道

228

^縦20 m，横 25 m の長方形の形をした土地がある。右の図のように， 同じ道幅の遊歩道をつくり，残りの部分を池にした。

池の部分の面積と土地全体の面積の比が7：10 であるとき，遊歩道の 道幅は何m か求めよ。

229

次の問いに答えよ。

□⑴ 横が縦より8 cm 長い長方形の厚紙がある。この 4 すみから 1 辺 6 cm の正方形を切り取り，折り曲げて容積 768 cm^の直方体の形 をした容器を作った。この厚紙の縦，横の長さを求めよ。

□⑵ 縦12 cm，横 30 cm の長方形の紙から，図の斜線部分の 2 つの正 方形と2 つの長方形を切り取り，折り曲げて直方体を作ったら，表 面積が300 cm^になった。切り取った正方形の1 辺の長さを求めよ。

230

右の図のように，∠B=45°，BC=13 cm の △ABC がある。 辺AB 上に点 D，辺 BC 上に 2 点 E，F，辺 AC 上に点 G をとり， 四角形DEFG が長方形になるようにする。DG=7 cm で，

△GFC の面積が，△DBE の面積より 1 cm^大きいとき，DE の 長さを求めよ。

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□

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７４ 動点に関する問題

A D

B _Q

P

C 16 cm 1 辺の長さが 16 cm の正方形 ABCD がある。点 P は A を出発し，毎秒 1

cm の速さで辺 AB 上を B まで動く。また，点 Q は点 P が A を出発するの と同時にB を出発し，P と同じ速さで辺 BC 上を C まで動く。△PBQ の面 積が24 cm^になるのは，点P，Q が出発してから何秒後か。

解 x 秒後に △PBQ の面積が 24 cm^{になったとすると，} AP=BQ=x cm より，PB=AB−AP=16−x cm だから， 方程式は，¹

2^x(16−x)=24

これを整理して，x^−16x+48=0，(x−4)(x−12)=0 より，x=4，12

0<x<16 だから，x=4，12 はともに問題に適している。したがって，4 秒後，12 秒後

231

右の図のような，AB=8 cm，BC=16 cm，∠B=90° の直 角三角形ABC がある。点 P は A を出発し，毎秒 1 cm の速さで 辺AB 上を B まで動く。また，点 Q は，点 P が A を出発するの と同時にB を出発し，毎秒 2 cm の速さで辺 BC 上を C まで動く。 四角形APQC の面積が 52 cm^になるのは，点P，Q が出発して から何秒後か。

７５ 関数のグラフに関する問題

3 直線 y=−2x+5…①，y=x+2…②，x=a…③があるとき，①と②，

①と③，②と③の交点をそれぞれA，B，C とする。△ABC の面積が 24 のとき，a の値を求めよ。ただし，③は点 A の右側にあるとする。 解 点A の座標は，

_

^y=−2x+5

y=x+2 を解いて，A1，3 Ba，−2a+5，Ca，a+2 だから，

BC=a+2−−2a+5=3a−3=3a−1

△ABC で，BC を底辺とすると，高さは a−1 だから，△ABC=³ 2^a−1



よって，³ 2^a−1

=24，a−1^=16，a=5，−3

a>1 より，a=−3 は問題に適していない。a=5 は問題に適している。よって，a=5

232

3 直線 y=x+3…①，y=2x−3…②，x=a…③がある。①，②と y 軸 との交点をそれぞれA，B とし，①と②，①と③，②と③の交点をそれぞ れC，D，E とする。このとき，次の問いに答えよ。

□⑴ ③は点C の左側にあるとする。

△CDE の面積が 8 となるとき，a の値を求めよ。

□⑵ ③は y 軸の右側にあって，点 C の左側にあるとする。 台形ABED の面積が 16 となるとき，a の値を求めよ。

□

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■ ７６ 割合に関する問題

原価1600 円の品物に x % の利益を見込んで定価をつけた。この品物を大売り出しの日に，特 価品として定価の x % 引きにして売ったので，100 円の損失が出たという。x の値を求めよ。 解 x % は ^x

100 だから，(定価)=原価)×

_

1+ ^x

100



，(売り値)=定価)×

_

1− ^x

100



^より，

1600

_

1+ ^x

100



¹⁻100^x



−1600=−100，− ¹⁶ 100^x

_=−100，x₌100^

4^{ ，x=±25} 0<x<100 より，x=−25 は問題に適していない。x=25 は問題に適している。 よって，x=25

233

次の問いに答えよ。

□⑴ 原価が1000 円の品物に x 割の利益を見込んで定価をつけたが，古くなったので，定価の x 割 引きで売った。このとき，40 円の損をしたという。x の値を求めよ。

□⑵ ある商品の値段を2 回値上げした。2 回目の値上げの割合は 1 回目より 10 % 多かった。この 2 回の値上げによって，この商品の値段は最初の値段より 56 % 上がったという。1 回目と 2 回目 はそれぞれ何% の値上げをしたか。

234

ある商品を1 個 100 円で売ると，1 日に 400 個売れるが，値段を 1 円上げると 1 日に売れる個 数は2 個減る。売り上げが 45000 円であった日は，この商品を 1 個何円で売ったか。

７７ 解と係数の関係

2 次方程式 ax^+bx+c=0 の 2 つの解を α，β とすると，α+β=−^b a^，αβ=

c a

2 次方程式 2x^+5x+1=0 の 2 つの解を α，β とするとき，次の式の値を求めよ。

⑴ α+β ⑵ αβ ⑶ α^+β^ ⑷ ¹

α⁺ 1 β 解 ⑴，⑵ 解と係数の関係より，α+β=−⁵

2^，αβ= 1 2

⑶ α^+β^=α+β^−2αβ=

_

−⁵

2



^−2×12⁼ 25

4 ⁻¹⁼ 21

4

⑷ ¹ α⁺

1 β⁼

α+β αβ ⁼⁻

5 2^÷

1 2⁼⁻⁵

235

次の2 次方程式の 2 つの解を α，β とするとき，α+β，αβ の値を求めよ。

□⑴ x^+6x−3=0 □⑵ 9x^−10x−2=0

□⑶ 2x^+7x+1=0 □⑷ 4x^−7x+3=0

236

2 次方程式 3x^+2x−3=0 の 2 つの解を α，β とするとき，次の式の値を求めよ。

□⑴ α^+β^ □⑵ ¹

α⁺ 1 β

□⑶ α−1β−1 □⑷ ^β

α⁺ α β

□

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７８ ２次方程式の作成①

2 数 α，β を解とする 2 次方程式は，x^−α+βx+αβ=0

2 数 2+ 3 ，2− 3 を解とする x の 2 次方程式を求めよ。ただし，x^の係数は1 とする。 解 解の和は，2+ 3 +2− 3 =4 だから，x の係数は −4

解の積は，2+ 3 2− 3 =1 だから，定数項は 1 よって，求める_{2 次方程式は，x}²−4_x+1=0

237

^次の2 数を解とする x の 2 次方程式を求めよ。ただし，x^の係数は正とし，各係数がもっとも 簡単な整数の組になるようにせよ。

□⑴ 2，5 □⑵ 1，−3

□⑶ 1+ 2 ，1− 2 □⑷ ^{1+ 5} 2 ^，

1− 5 2

□⑸ ^{−5+ 3} 3 ^，

−5− 3

3 ^□⑹

3+ 2 2 ^，

3− 2 2

７９ ２次方程式の作成②

2 次方程式 x^−5x+3=0 の 2 つの解を α，β とするとき，α−1，β−1 を 2 つの解とする x の 2 次方程式を求めよ。ただし，x^の係数は1 とする。

解 _x^−5x+3=0 において，解と係数の関係より，α+β=5，αβ=3 求める2 次方程式の解の和は，α−1+β−1=α+β−2=5−2=3 解の積は，α−1β−1=αβ−α+β+1=3−5+1=−1

よって，求める_{2 次方程式は，x}²−3_x−1=0

238

2 次方程式 x^+x−3=0 の 2 つの解を α，β とするとき，α^，β^を2 つの解とする x の 2 次方 程式を求めよ。ただし，x^の係数は1 とする。

239

2 次方程式 2x^−5x−4=0 の 2 つの解を α，β とするとき，2α+1，2β+1 を 2 つの解とする x の2 次方程式を求めよ。ただし，x^の係数は1 とする。

240

2 次方程式 3x^+7x+1=0 の 2 つの解を α，β とするとき， ¹ α+1^，

1

β+1 ^{を2 つの解とする x} の2 次方程式を求めよ。ただし，x^の係数は正とし，各係数がもっとも簡単な整数の組になるよう にせよ。

□

□

□

241

次の問いに答えよ。

□⑴ 2 次方程式 x^+a+3x+a^+4a−6=0 の 1 つの解が −2 で，他の解が正の数のとき，a の値 と他の解を求めよ。

□⑵ 2 つの正の数の差が ¹

2 で，2 数の和と 2 数の平方の和が等しいという。この 2 数を求めよ。

□⑶ 大小2 つの正方形があり，大きい正方形の 1 辺の長さは，小さい正方形の 1 辺の長さの 2 倍よ り1 cm 長い。大きい正方形の面積から小さい正方形の面積をひいた差が 149 cm^であるとき， 小さい正方形の1 辺の長さを求めよ。

□⑷ 濃度10 % の食塩水 10 kg を入れた容器からいくらかの量をくみ出して，同量の水をもどした。 さらに，初めにくみ出した量の2 倍の量をくみ出して，それと同量の水をもどしたところ，濃度 が7.2 % になった。最初にくみ出した量は何 kg か。

□⑸ 入口から水面までの距離が34 m の井戸がある。この井戸に石を落としたところ，x 秒後に水 音がした。x の値を求めよ。ただし，石は落ちてから t 秒間で 5t^m 落ち，音は 1 秒間に 340 m 進むとする。

242

金井君と犬が散歩していると，犬の15 m 前方を秒速 4 m で 2 人と同じ進行方向へ走る人がい た。その人を見つけた犬が走り出し，ぬき去った。この犬が走り始めてから t 秒後の移動距離は (t^+2tm と表されるという。犬が走り始めてから前方の人に追いつくのにかかる時間は何秒か。

¬₁

¬₂

243

右の図は，点P2，4 で交わる 2 つの直線 ℓ…y=2x，ℓ…y=−x+a， および直線 ℓと x 軸との交点 A を示したものである。

□⑴ a の値を求めよ。

⑵ 線分AP 上(点 A，P は除く)に点 Q をとる。点 Q を通り y 軸に平行な 直線と，x 軸，直線 ℓとの交点をそれぞれR，S とする。また，点 Q の x 座標を t とする。このとき，

□① △ORS の面積を t の式で表せ。

□② △ORS の面積が △AQR の面積の 8 倍になるとき，点 Q の座標を求めよ。

244

次の問いに答えよ。

□⑴ 2 次方程式 2x^+3x−1=0 の解を α，β とするとき，α^+β^の値を求めよ。

□⑵ ある2 次方程式の 2 つの解を α，β とするとき，5α−2，5β−2 を解とする 2 次方程式は x^−7x+4=0 になるという。もとの 2 次方程式を求めよ。ただし，x^の係数は正とし，各係数 がもっとも簡単な整数の組になるようにせよ。

□

□

３章のチャレンジ問題

245

次の問いに答えよ。

□⑴ 2 次方程式 x−a^−3x−a+2=0 が x=1+ 2 を解としてもつとき，a の値を求めよ。

□⑵ x=1−2a は，2 次方程式 x^+2a−1x−2a−12a−1=0 の負の解である。a の値を求めよ。

□⑶ 正の数 x を整数部分 a と小数部分 b に分けると，x^+b^=15 を満たすという。a，b の値を求 めよ。

246

次の問いに答えよ。

□⑴ 2 次方程式 x^− 3 ax+a=0 の 2 つの解の差が 2 となるという。a の値を求めよ。

□⑵ 2 次方程式 x^+5x+2=0 の解を α，βα>β とするとき，α^，−β^を解とする x の 2 次方程 式を求めよ。ただし，x^の係数は1 とする。

□⑶ 2 次方程式 x^+ax+b=0 の 2 つの解はともに，2 次方程式 x^+bx+a=0 の 2 つの解より 3 小さいという。a，b の値を求めよ。

247

次の2 つの 2 次方程式が共通な解をもつとき，共通な解および a の値を求めよ。 x^−2x+a−2=0…① 2x^−5x+3a+6=0…②

248

次の方程式を解け。ただし， x  は x の絶対値を表す。

□⑴ x^−18x^+1=0 □⑵ x−7x−4x−1x+2+32=0

□⑶ _x^− x −6=0 □⑷ _x^−9 x+1 =27

249

1 辺の長さが 1 の正十角形に外接する円の半径を求めよ。

250

3 点 O0，0，A6，0，B0，6 を頂点とする △OAB がある。 このとき，次の問いに答えよ。

□⑴ 直線 y=−2x+k が辺 AB点 A，B をふくむ) と交わるような k の 値の範囲を求めよ。

⑵ 右の図のように直線 y=−2x+k が辺 OA，AB と交わる点をそれ ぞれP，Q とし，辺 OB 上に点 R を △PQR=¹

4^{△OAB となるよう} にとる。

□① k=8 のとき，点 R の座標を求めよ。

□② 点R が辺 OB の中点になるとき，k の値を求めよ。

□